[완전 탐색, 백트래킹] 백준 14888. 연산자 끼워넣기 ➕➖✖️➗

오늘 문제는 백트래킹의 대표 문제! 연산자 끼워넣기입니다.

 

Let’s go

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1. 문제: 백준 14888. 연산자 끼워넣기

• 단계: 🥈 실버 1단계
• 주제:
  • 브루트포스 알고리즘
  • 백트래킹
• 출처: https://www.acmicpc.net/problem/14888

문제

N개의 수로 이루어진 수열 A1, A2, ..., AN이 주어진다. 또, 수와 수 사이에 끼워넣을 수 있는 N-1개의 연산자가 주어진다. 연산자는 덧셈(+), 뺄셈(-), 곱셈(×), 나눗셈(÷)으로만 이루어져 있다.

우리는 수와 수 사이에 연산자를 하나씩 넣어서, 수식을 하나 만들 수 있다. 이때, 주어진 수의 순서를 바꾸면 안 된다.

예를 들어, 6개의 수로 이루어진 수열이 1, 2, 3, 4, 5, 6이고, 주어진 연산자가 덧셈(+) 2개, 뺄셈(-) 1개, 곱셈(×) 1개, 나눗셈(÷) 1개인 경우에는 총 60가지의 식을 만들 수 있다. 예를 들어, 아래와 같은 식을 만들 수 있다.

• 1+2+3-4×5÷6
• 1÷2+3+4-5×6
• 1+2÷3×4-5+6
• 1÷2×3-4+5+6

식의 계산은 연산자 우선 순위를 무시하고 앞에서부터 진행해야 한다. 또, 나눗셈은 정수 나눗셈으로 몫만 취한다. 음수를 양수로 나눌 때는 C++14의 기준을 따른다. 즉, 양수로 바꾼 뒤 몫을 취하고, 그 몫을 음수로 바꾼 것과 같다. 이에 따라서, 위의 식 4개의 결과를 계산해보면 아래와 같다.

• 1+2+3-4×5÷6 = 1
• 1÷2+3+4-5×6 = 12
• 1+2÷3×4-5+6 = 5
• 1÷2×3-4+5+6 = 7

N개의 수와 N-1개의 연산자가 주어졌을 때, 만들 수 있는 식의 결과가 최대인 것과 최소인 것을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 수의 개수 N(2 ≤ N ≤ 11)가 주어진다. 둘째 줄에는 A1, A2, ..., AN이 주어진다. (1 ≤ Ai ≤ 100) 셋째 줄에는 합이 N-1인 4개의 정수가 주어지는데, 차례대로 덧셈(+)의 개수, 뺄셈(-)의 개수, 곱셈(×)의 개수, 나눗셈(÷)의 개수이다.

출력

첫째 줄에 만들 수 있는 식의 결과의 최댓값을, 둘째 줄에는 최솟값을 출력한다. 연산자를 어떻게 끼워넣어도 항상 -10억보다 크거나 같고, 10억보다 작거나 같은 결과가 나오는 입력만 주어진다. 또한, 앞에서부터 계산했을 때, 중간에 계산되는 식의 결과도 항상 -10억보다 크거나 같고, 10억보다 작거나 같다.

예제 입력 1

2
5 6
0 0 1 0

예제 출력 1

30
30

예제 입력 2

3
3 4 5
1 0 1 0

예제 출력 2

35
17

예제 입력 3

6
1 2 3 4 5 6
2 1 1 1

예제 출력 3

54
-24

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2. 문제 풀이

이 문제는 주어진 수열의 순서를 바꾸지 않고, 그 사이에 연산자를 끼워 넣어 나올 수 있는 모든 경우의 수를 탐색한 뒤, 그 결과 중 최댓값과 최솟값을 구하는 것이 목적입니다.

 

즉, 단순히 수학적으로 식을 계산하는 것이 아니라, 모든 연산자 조합을 생성하여 가능한 모든 수식을 계산해보는 완전 탐색(Brute-force) 문제입니다.

🔍 핵심 조건 정리

• 수열은 정해져 있고, 순서는 고정이다.
• 가능한 연산자는 +, , , / 네 가지이며, 주어진 개수만큼만 사용할 수 있다.
• 연산자의 우선순위는 무시하며, 왼쪽부터 순서대로 계산해야 한다.
• 나눗셈은 정수 나눗셈이고, 음수를 양수로 나눌 경우 C++14 방식을 따른다.
• 예: -3 // 2 → -1이 아니라 -(3 // 2) = -1

접근 방법

문제의 조건에 맞게 연산자 조합을 만들고, 수열에 적용해가며 가능한 모든 계산 결과를 탐색해야 합니다. 이때 사용할 수 있는 대표적인 방법은 다음 두 가지입니다:

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1. 순열을 활용한 완전 탐색

• 어떻게?
• 연산자의 개수를 바탕으로 가능한 모든 연산자 순열을 만들어서, 수열에 차례로 끼워 넣고 계산해봅니다.
• 예시이를 각각 1 + 2 * 3, 1 * 2 + 3처럼 계산합니다.
• 수열이 [1, 2, 3]이고, 연산자 개수가 + 1개, * 1개라면 → 가능한 순열: ['+', '*'], ['*', '+']
• 중복 처리 주의따라서 set()으로 중복 제거가 필요합니다.
• 같은 연산자가 여러 개 있을 수 있으므로, itertools.permutations를 사용할 때 중복된 연산자 조합이 나올 수 있습니다.
• 시간 복잡도
• 최악의 경우 N=11일 때 연산자 순열은 최대 10! = 3,628,800 가지가 될 수 있으므로 속도가 느릴 수 있습니다.

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2. 백트래킹 (DFS) 활용

• 어떻게?→ 재귀적으로 호출하면서 가능한 모든 연산 경로를 시도합니다.
• 현재까지의 계산 결과와 현재 인덱스를 기억하면서, 남은 연산자 수를 기반으로 각 연산을 하나씩 선택해 나아가는 방식입니다.
• 장점
  • 중복된 순열을 만들지 않으므로 더 효율적입니다.
  • 구현 시 프루닝(pruning) 전략도 적용할 수 있어 계산량을 줄일 수 있습니다.
• 핵심 포인트연산자 수가 모두 소진되고, 수열의 끝까지 도달하면 결과를 갱신합니다.
• 재귀 함수에서 다음 값을 계산할 때마다 현재까지 남아 있는 연산자 수를 줄이고, 다음 연산에 해당하는 함수를 호출합니다.
• 예외 처리
• 나눗셈 시 음수 처리 (if current < 0)도 별도로 다뤄야 합니다.

구현 코드(백트래킹)

def dfs(index, current_result, plus, minus, mul, div):
    global N, A, operators_cnt, max_result, min_result

    if index == N:
        max_result = max(max_result, current_result)
        min_result = min(min_result, current_result)
        return
    
    if plus > 0:
        dfs(index + 1, current_result + A[index], plus - 1, minus, mul, div)
    
    if minus > 0:
        dfs(index + 1, current_result - A[index], plus, minus - 1, mul, div)
    
    if mul > 0:
        dfs(index + 1, current_result * A[index], plus, minus, mul - 1, div)
    
    if div > 0:
        if current_result < 0:
            dfs(index + 1, -(-current_result // A[index]), plus, minus, mul, div - 1)
        else:
            dfs(index + 1, current_result // A[index], plus, minus, mul, div - 1)

def main():
    global N, A, operators_cnt, max_result, min_result
    N = int(input().strip())
    A = list(map(int, input().split()))
    operators_cnt = list(map(int, input().split()))
    max_result, min_result = -float('inf'), float('inf')

    dfs(1, A[0], *operators_cnt)

    print(max_result, min_result, sep='\\n')

if __name__ == '__main__':
    main()

구현 코드(완전 탐색)

from itertools import permutations
def sol(N, A, operators_cnt):
    max_result, min_result = -float('inf'), float('inf')
    operators = []
    for i, cnt in enumerate(operators_cnt):
        operators.extend(['+', '-', '*', '/'][i] * cnt)
    
    for perm in permutations(operators):

        result = A[0]

        for i in range(1, N):
            if perm[i - 1] == '+':
                result += A[i]
            elif perm[i - 1] == '-':
                result -= A[i]
            elif perm[i - 1] == '*':
                result *= A[i]
            else:
                if result < 0:
                    result = -(-result // A[i])
                else:
                    result //= A[i]
        
        max_result = max(max_result, result)
        min_result = min(min_result, result)
    
    return max_result, min_result

def main():
    N = int(input().strip())
    A = list(map(int, input().split()))
    operators_cnt = list(map(int, input().split()))

    print(*sol(N, A, operators_cnt), sep='\\n')

if __name__ == '__main__':
    main()

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마무리

이 문제는 단순한 연산이지만 다음과 같은 핵심 개념을 학습할 수 있습니다:

• 백트래킹으로 연산자 조합 구현하기
• 3개 이상의 연산자를 정확한 순서로 적용하기
• 음수 나눗셈 처리 시 주의사항 (C++14 기준)

📌 다양한 조합 문제를 연습할 때 반드시 풀어보면 좋은 문제입니다.

 

특히 백트래킹을 연습하고 싶은 분들에게 추천합니다!

 

읽어주셔서 감사합니다.